La portanza – Una forza che mancò a Icaro

el_vuelo_de_icaro

Da sempre l’uomo sogna di volare e cerca di trovare il modo di vincere la forza di gravità che lo tiene attaccato a terra per via della sua massa. Per superare questa forza fu ovvio ispirarsi al volo degli uccelli. Comprendere, però, come creare una forza che contrastasse la gravità era troppo complesso. Si capì in seguito che la forza capace di opporsi alla gravità era la portanza generata dalle ali in movimento relativo con l’aria. Il fenomeno della portanza è stato in seguito a lungo dibattuto per via delle difficoltà nel trovare un metodo ed una formulazione matematica capaci di descrivere tale forza. Per dare un’idea di quanto poco si riuscisse a comprendere della natura della portanza basta pensare che D’Alembert, collaborando alla Enciclopedia con Diderot, era arrivato a definire impossibile il volo per il “più pesante dell’aria” (non i dirigibili insomma), fatto poi ampiamente smentito.

La portanza è quella componente della forza aerodinamica (forza esercitata da un fluido su un corpo) perpendicolare alla direzione della velocità dell’aria che investe l’ala; invece la componente della forza aerodinamica ì parallela alla direzione dell’aria è detta resistenza (https://www.fas.org/man/dod-101/sys/ac/fig_28-10.gif). Un’interpretazione generale della portanza consiste nel considerare come causa di questa forza la deviazione verso il basso del flusso d’aria che investe l’ala; questo punto di vista ci permette di dimostrare e quantificare la portanza attraverso i principi della dinamica. Dato che l’aria che investe l’ala viene deflessa verso il basso ci deve essere un’ accelerazione della massa d’aria sulla direzione verticale; come noto dal primo principio della dinamica questa variazione di velocità è data da una forza verso il basso, che in questo caso è esercitata dall’ala sul fluido. Quantitativamente questa forza vale

F=ρ∙V∙a

dove ρ è la densità dell’aria, V è il volume d’aria spostato e a è l’accelerazione dell’aria verso il basso. Dal terzo principio della dinamica sappiamo che, dato che il profilo alare esercita una forza sul flusso d’aria, l’ala subirà una forza uguale e contraria, quindi verso l’alto (la portanza). Risulta inoltre interessante notare che la deviazione verso il basso del flusso d’aria non è dovuta esclusivamente alla superficie inferiore del profilo alare, che obbliga il flusso a cambiare direzione, ma anche a quelle linee di flusso che “seguono”, deviando verso il basso, il profilo superiore dell’ala a causa dell’effetto Coandă (questo fenomeno consiste nella tendenza di un flusso a seguire la superficie curva su cui scorre per via della diminuzione della pressione in prossimità della superficie di contatto). Questo particolare spiega perché lo stallo (brusco calo della portanza che porta l’aereo a precipitare) sopraggiunga quando l’angolo d’attacco (angolo tra la direzione del flusso d’aria e la corda del profilo alare) aumenta oltre un certo limite, ovvero quando, nonostante l‘effetto Coandă, il flusso d’aria non riesce più a seguire il profilo superiore dell’ala generando vortici e, di conseguenza, la diminuzione del flusso che devia verso il basso porta ad una minore portanza (http://www.formula1-dictionary.net/Images/coanda_angle_o_attack.gif).

La genesi della portanza può anche essere attribuita e quantificata in base alla variazione della pressione intorno al corpo che attraversa il fluido. In questo ambito, per analizzare la portanza, si ricorre ad uno dei principi fondamentali della fluidodinamica: il teorema di Bernoulli. Il tale teorema rappresenta matematicamente il principio di Bernoulli che fa corrispondere, per un fluido ideale, ad ogni variazione della velocità una variazione di pressione o di energia potenziale. In forma matematica questo principio può essere espresso in questa forma:

p+ρ v^2/2+ρgh=costante

dove p è la pressione, g è l’accelerazione di gravità e h è l’altezza (il secondo membro della somma descrive l’energia cinetica del fluido e il terzo l’energia potenziale). Ciò significa che, escludendo la variazione di energia potenziale (che non influisce nel caso della portanza), all’aumentare della velocità del flusso corrisponde una diminuzione della pressione mentre al calare della velocità segue un aumento della pressione (questo principio trova innumerevoli applicazioni, dai carburatori all’aterosclerosi). L’equazione di Bernoulli è quindi in grado di quantificare (entro certi limiti) la portanza. La portanza è data infatti dalla differenza di velocità che si ottiene con una particolare forma del profilo dell’ala, che è costruita in modo tale da rendere la velocità dell’aria sulla faccia superiore maggiore di quella sulla faccia inferiore. Questo fenomeno permette di generare una forza diretta verso l’alto data da una pressione sulla faccia inferiore maggiore di quella sulla faccia superiore (http://www.youtube.com/watch?v=Ti5zUD08w5s con rosso che sta per maggiore pressione (o velocità) e blu per minore pressione (o velocità)). Quantitativamente il rapporto tra la pressione sul dorso e la pressione sul ventre dell’ala è dato da

p_i+1/2 ρv_i^2=p_s+1/2 ρv_s^2

dove è la pressione sulla superficie inferiore dell’ala, è la velocità del flusso d’aria sotto l’ala, è la pressione sulla superficie superiore dell’ala e è velocità del flusso d’aria sopra l’ala. La differenza di pressione è quindi:

(p_i-p_s)=1/2 ρv_s^2-1/2 ρv_i^2

Questa differenza di pressione (p_i-p_s) ha semplicemente l’effetto di una pressione della stessa intensità di (p_i-p_s) agente sulla superficie inferiore dell’ala. Dato che la pressione ha valore

p=F/A

La forza dal basso verso l’alto che noi definiamo portanza vale

F=pa

Dove a è la superficie alare e p è la differenza di pressione che abbiamo incontrato precedentemente. C’è inoltre da dire che l’entità della depressione sulla superficie superiore dell’ala è prevalente rispetto alla pressione sulla superficie inferiore. Il profilo, quindi, è più “aspirato” verso l’alto dall’aria che scorre sul dorso di quanto non sia spinto dalla pressione sul ventre dell’ala (infatti circa 2/3 della portanza dipendono dalla depressione sul dorso dell’ala) (http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/29/Pressure_coefficient.PNG).

Esiste un altro metodo, la cosiddetta teoria della circuitazione, per spiegare la genesi della portanza e prende spunto da ragionamenti quasi esclusivamente matematici. Sebbene sia più precisa delle precedenti, tale determinazione della portanza risulta molto meno intuitiva. Questa teoria determina la portanza come il prodotto (per la precisione il sovrapporsi) di una corrente traslatoria intorno al profilo alare e di una corrente circolatoria che ruota intorno al contorno del profilo stesso. (http://claesjohnsonmathscience.files.wordpress.com/2012/05/potentialairfoil.jpg). I primi a fornire, separatamente, questa impostazione per lo studio della portanza furono Martin Wilhelm Kutta e Nikolaj Egorovič Žukovskij che dettero vita ad un teorema che descrive quantitativamente la portanza, il teorema di Kutta-Žukovskij.

L’idea di associare una corrente circolatoria ad una traslatoria venne ai due studiosi a causa degli esperimenti compiuti da Gustav Heinrich Magnus con una sfera che si muove in un fluido; Magnus scoprì che una sfera che si muove immersa in un fluido non subisce alcuna portanza perché la pressione e la velocità sopra e sotto la sfera sono uguali, se invece si fa ruotare la sfera si genera una differenza di velocità del fluido tra sopra e sotto che, per il principio di Bernoulli, genera una differenza di pressione, e quindi portanza; questo fenomeno ha preso poi il nome di effetto Magnus e lo si può riscontrare nei tiri “ad effetto” nel calcio o nel tennis o in altre discipline sportive(http://dida.fauser.edu/aero/terza/alainfin/afig109.jpg)(http://dida.fauser.edu/aero/terza/alainfin/afig129.gif). Alla luce di questi esperimenti, Kutta e Žukovskij, cominciarono ad ipotizzare che la portanza si basasse su una componente circolatoria del moto del fluido da sommare alla componente traslatoria. Come abbiamo visto quindi la teoria circolatoria si basa su un concetto abbastanza semplice: gli effetti aerodinamici di una corrente reale intorno ad un corpo di forma qualsiasi, sono gli stessi che si ottengono dalla sovrapposizione degli effetti di due correnti ideali, una traslatoria e l’altra circolatoria. Questa geniale ipotesi ha portato a risultati fondamentali per l’aeronautica, tradotti dal teorema di Kutta-Žukovskij, che descrive la portanza in questa forma

p=ρ∙v∙Γ

Dove ρ è la densità dell’aria, v è la velocità asintotica (ovvero misurata molto lontano dall’ala) e Γ è la circuitazione dell’aria intorno all’ala. Più in particolare Γ è una circuitazione della velocità sul profilo alare e può essere espressa in questa forma:

Γ=∮_δs▒(dr ̅)/dt∙dr ̅

questa circuitazione è un integrale rispetto alla variazione della posizione nel tempo ((dr ̅)⁄dt, ovvero la velocità) su una linea chiusa (δs) composta da tratti dr ̅ (parti infinitesime di una linea).

Andrea Burberi

Bibliografia:

Mach 1, Enciclopedia dell’aviazione, Edipem, 1982
Grande Enciclopedia, Istituto Geografico De Agostani-Novara, 1985
Corso di navigazione dei Glénans, U. Mursia editore S.p.a., 1975-1989

Bibliografia online:

https://www.wikipedia.org/
http://host.uniroma3.it/laboratori/fluidodinamica/AEROCap2.pdf
http://www.treccani.it/
http://www.aif.it/LFNS/volo.pdf

2 risposte a “La portanza – Una forza che mancò a Icaro

  1. Dal che si ricaverebbe, se non m’inganno, che anche il grande Leonardo da Vinci, che una persistente e logora retorica insiste a dipingere come concreto anticipatore di tutto ciò che di importante sul piano della tecnologia è venuto dopo di lui, nonostante l’accanimento con cui si era dedicato all’indagine del volo degli uccelli e all’ideazione di macchine per poter volare, fosse ben lontano dall’averne compreso la logica di fondo

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